题目

【【【【高一数学集合证明】】】】
对于集合N＝{1,2,3,……,n}及他的每一个非空子集,定义一个“交替和如下：按照递减的次序重新排列该子集,然后从最大数开始交替地减、加后继的数.例如集合{1,2,4,6,9}的交替和是9－6＋4－2＋1＝6,集合{5}的交替和为5.当集合N中的n＝2时,集合N={1,2}的所有非空子集为{1},{2},{1,2},则他的每一个非空子集的”交替和“的总和S2＝1＋2＋（2－1）＝4
试证明N＝{1,2,3,……,n}的每一个非空集合的交替和Sn＝n * 2 ^ (n-1)
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提问时间：2020-07-27

答案

将N的所有子集分为两大类A类和B类,其中A类中的子集均含有元素n,B类中的子集不含有元素n,任意B类中的集合添上元素n即为A类中的集合,且不同的B类中的子集添上元素n后所得的A类中的集合也不同,故A,B两类子集的个数一样多,且一一对应,N所有子集有2^n个,故A,B两类子集的个数均为(2^n)/2=2^(n-1);
设S是B类集合中任意一个子集,S1=S∪{n}是A中与S对应的有子集,S中元素的“交替和”与S1中元素的“交替和”之和恰等于n,这是因为出现在S,S1中的同一元素在“交替和”中符号相反,相加时互相抵消,仅剩下n,故两者相加为n.如：
设S={a1,a2,…,ak},其中a1>a2>…>ak,S的“交替和”为a1-a2+a3-,…,+(-1)^(k-1)ak,S1的“交替和”为n-a1+a2-a3-,…,+(-1)^kak,两者相加为n,A中子集与B中子集有对应关系的共有2^(n-1),于是N的所有子集的“交替和”之和为n×2^(n-1).