题目

已知等比数列{a_n}中，a₂=2，a₅=128，若b_n=log₂a_n，数列{b_n}前n项的和为S_n．
（Ⅰ）求数列{b_n}的前n项和S_n；
（Ⅱ）求不等式S_n＜2b_n的解集．

提问时间：2020-07-27

答案

（I）在等比数列{a_n}中，由a₅=a₂q³，又a₂=2，a₅=128，q³=64，
∴q=4，∴a_n=a₂q^n-2=2•4^n-2=2^2n-3，
∴b_n=log₂a_n=log₂2^2n-3=2n-3．S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=（2•1-3）+（2•2-3）+（2•3-3）+…+（2•n-3）
=2（1+2+3+…+n）-3n=n²-2n
（II）由S_n＜2b_n，得n²-2n＜2（2n-3），即n²-6n+6＜0，
∴3-

3

＜n＜3+

3

又n∈N^*，
∴n=2，3，4
故原不等式的解集是{2，3，4}

（I）设数列{a_n}的公比为q，由a₂=2，a₅=128求得a₁和q，再根据等比数列{a_n}的通项公式，进而可知数列{b_n}是等差数列．再利用等差数列的求和公式求得答案．
（II）由S_n＜2b_n，得n²-2n＜2（2n-3），即n²-6n+6＜0，解不等式即可

本题考点：数列与不等式的综合；等差数列的前n项和．

考点点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及不等式的解法．属基础题．