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题目
已知等比数列{an}中,a2=2,a5=128,若bn=log2an,数列{bn}前n项的和为Sn
(Ⅰ)求数列{bn}的前n项和Sn
(Ⅱ)求不等式Sn<2bn的解集.

提问时间:2020-07-27

答案
(I)在等比数列{an}中,由a5=a2q3,又a2=2,a5=128,q3=64,
∴q=4,∴an=a2qn-2=2•4n-2=22n-3
∴bn=log2an=log222n-3=2n-3.Sn=b1+b2+b3+…+bn=(2•1-3)+(2•2-3)+(2•3-3)+…+(2•n-3)
=2(1+2+3+…+n)-3n=n2-2n
(II)由Sn<2bn,得n2-2n<2(2n-3),即n2-6n+6<0,
3-
3
<n<3+
3
又n∈N*
∴n=2,3,4
故原不等式的解集是{2,3,4}
(I)设数列{an}的公比为q,由a2=2,a5=128求得a1和q,再根据等比数列{an}的通项公式,进而可知数列{bn}是等差数列.再利用等差数列的求和公式求得答案.
(II)由Sn<2bn,得n2-2n<2(2n-3),即n2-6n+6<0,解不等式即可

数列与不等式的综合;等差数列的前n项和.

本题主要考查了等比数列的通项公式及不等式的解法.属基础题.

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