题目

已知向量

a

，

b

满足|

a

|=1，（

a

+

b

）•（

a

-2

b

）=0，则|

b

|的最小值为 ___ ．

提问时间：2020-07-27

答案

由条件得

a

2-

a

•

b

-2

b

2=0，记＜

a

，

b

＞=θ，|

b

|=t，
则2t²+tcosθ-1=0，即cosθ=

1-2t2

t

，
从而|

1-2t2

t

|≤1，4t⁴-5t²+1≤0，

1

4

≤t2≤1，
故t_min=

1

2

，即|

b

|的最小值为

1

2

．
故答案为：

1

2

．

记＜

a

，

b

＞=θ，|

b

|=t，由（

a

+

b

）•（

a

-2

b

）=0，得t，θ的关系式，分离出cosθ，由cosθ的范围可得t的范围．

本题考点：平面向量数量积的运算．

考点点评：本题考查了平面向量数量积的运算，利用梨转化与化归的数学思想，用|

b

|的代数式表示cosθ，从而将所求之值转化为不等式，再求解得之．