题目

给定函数f（x）=

x3

3

-ax²+（a²-1）x和g（x）=x+

a2

x

（Ⅰ）求证：f（x）总有两个极值点；
（Ⅱ）若f（x）和g（x）有相同的极值点，求a的值．

提问时间：2020-07-27

答案

证明：（I）因为f'（x）=x²-2ax+（a²-1）=[x-（a+1）][x-（a-1）]，
令f'（x）=0，则x₁=a+1，x₂=a-1，------------------------------------------（2分）
则当x＜a-1时，f'（x）＞0，当a-1＜x＜a+1，f'（x）＜0
所以x=a-1为f（x）的一个极大值点，-----------------------（4分）
同理可证x=a+1为f（x）的一个极小值点．-------------------------------------（5分）
另（I）因为f′（x）=x²-2ax+（a²-1）是一个二次函数，
且△=（-2a）²-4（a²-1）=4＞0，-------------------------------------（2分）
所以导函数有两个不同的零点，
又因为导函数是一个二次函数，
所以函数f（x）有两个不同的极值点．---------------------------------------（5分）
（II） 因为g′(x)＝1−

a2

x2

＝

(x−a)(x+a)

x2

，
令g'（x）=0，则x₁=a，x₂=-a---------------------------------------（6分）
因为f（x）和g（x）有相同的极值点，且x₁=a和a+1，a-1不可能相等，
所以当-a=a+1时，a＝−

1

2

，当-a=a-1时，a＝

1

2

，
经检验，a＝−

1

2

和a＝

1

2

时，x₁=a，x₂=-a都是g（x）的极值点．--------------（8分）

（I）题目中欲证：“在R上有两个极值点”，利用导数的意义．即导函数有两个零点．从而转化为二次函数f′（x）=0的根的问题，利用根的判别式大于零解决即可．
（II）对函数 g（x）求导可得g′(x)＝1−

a2

x2

＝

(x−a)(x+a)

x2

由g'（x）=0，可得得x=a或-a，结合（I）中结论，从而可得a．

本题考点：利用导数研究函数的极值．

考点点评：本题主要考查函数的导数、极值等基础知识，三次函数的单调性可借助于导函数（二次函数）来分析，解得本题不但要熟练掌握函数的导数的相关的知识，还要具备一定的逻辑推理的能力，此题对考生的能力要求较高．