题目

等值函数的法向量为什么等于其梯度
高等数学下册中（同济大学第六版第九章第七节提到过）

提问时间：2020-07-27

答案

我想楼主之所以问这样的一个问题,是因为楼主对梯度和法向量的理解不够深入,而且被“等值函数的法向量等于其梯度”这样一个貌似为定理的等式迷惑了,其实这个并不是什么定理,也不是什么等式,而只是等值函数的法向量的表达式与函数的梯度的表达式一致而已,并非两者之间必然的存在关系,因为你应该有如下认识：
梯度是对一个函数而言的,它代表此函数变化最快的方向,设有函数W=f(x,y,z),则其梯度为：
GradW=∂f/∂xi+∂f/∂yj+∂f/∂zk
而对于法向量,其存在是对于几何实体存在的,如曲线或曲面,对于函数W=f(x,y,z)其代表的几何实体可以是多种多样的,如变形为W-f(x,y,z)=0,则代表四维几何体,若对W取某特定值C,即f(x,y,z)=C,则代表三维空间的等值曲面.此时我们关注第二种情形,即函数W=f(x,y,z)取某定值C,此时f(x,y,z)=C,则为所谓的等值函数,其代表着等值曲面,对于等量面f(x,y,z)=C,其法向量的求解为n=(∂f/∂x,∂f/∂y,∂f/∂z)（法向量的求解方法如果你不记得了,请参照书本,基本原理为假设x,y,z的参数方程,利用复合函数的求导法则得到法向量）,至此,对比GradW与n,你可以发现两者表达式一致,所以有等值函数f(x,y,z)=C的法向量与函数W=f(x,y,z)的梯度相等这一说法,从此中可以看出正是因为“等值函数的法向量为什么等于其梯度 ”这一说法掩盖了梯度是对函数W=f(x,y,z)而言,法向量是对等量面f(x,y,z)=C而言这一实质,才有你的困惑的产生,对上述说法的更准确的描述应该是：（参照复旦数学系教材）梯度函数是由数量函数W=f(x,y,z)产生的,在每一点P处的梯度方向与过P点的等量面f(x,y,z)=C在这点法线方向相同.并且GradW=n