题目

已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠BAC=45°，AD，CE都是△ABC的高，它们交于H．求证：

（1）AE=EC；
（2）AH=2BD．

提问时间：2020-07-27

答案

证明：（1）∵CE是△ABC的高，
∴∠AEC=90°，
∵∠CAB=45°，
∴∠ACE=45°=∠CAE，
∴AE=EC．
（2）∵AD，CE都是△ABC的高，
∴∠AEH=∠CEB=∠ADC=90°，
∵∠AHE=∠CHD，∠EAH+∠AEH+∠AHE=180°，∠BCE+∠CHD+∠ADC=180°，
∴∠EAH=∠BCE，
在△AEH和△CEB中，

∠AEH＝∠CEB AE＝EC ∠EAH＝∠ECB

，
∴△AEH≌△CEB（ASA），
∴AH=BC，
∵AB=AC，AD是△ABC的高，
∴BC=2BD，
∴AH=2BD．

（1）求出∠AEC=90°，根据三角形内角和定理求出∠ACE=45°=∠CAE即可；
（2）求出AE=EC，∠EAH=∠BCE，∠AEH=∠CEB，证△EAH≌△ECB，推出AH=BC，根据等腰三角形性质得出BC=2BD，即可得出答案．

本题考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．

考点点评：本题考查了等腰三角形性质，全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．全等三角形的对应边相等，对应角相等．