题目

已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域D内存在x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+1成立．
（1）函数f（x）=x²是否属于集合M？说明理由；
（2）函数f（x）=

1

x

提问时间：2020-07-27

答案

（1）D=R，若f（x）=x²属于集合M，
则存在实数x₀，使得（x₀+1）²=x₀²+1，解得x₀=0，因为此方程有实数解，
所以函数f（x）=x²属于集合M．（5分）
（2）D=（-∞，0）∪（0，+∞），
若f（x）=

1

x

∈M，则存在非零实数x₀，使得

1

x0+1

＝

1

x0

+1，即x₀²+x₀+1=0，
因为此方程无实数解，所以函数f（x）=

1

x

∉M．（5分）
（3）当b≠0时，D=（-∞，-a）∪（-a，+∞），
由f(x)＝

b

x+a

，存在实数x₀，使得

b

x0+a+1

＝

b

x 0+a

+1，
即x₀²+（2a+1）x₀+a²+a+b=0（x₀≠-a，-a-1）对于任意实数a均有解，
所以△≥0恒成立，解得b≤

1

4

，有b∈(−∞，0)∪(0，

1

4

]，（15分）
当b=0时，f（x）=0（x≠-a）显然不属于集合M．
所以，实数b的取值范围是(−∞，0)∪(0，

1

4

]．（18分）