题目

设m∈R,在平面直角坐标系中,已知向量a（mx,y+1）b（x,y-1）.a⊥b,m等于
设m∈R,在平面直角坐标系中,已知向量a（mx,y+1）,向量b（x,y-1）.a⊥b,动点M（x,y）的轨迹为E.若m等于四分之一,证明：存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A、B,且OA⊥OB（o为原点坐标）,并求出该圆的方程.

提问时间：2020-07-27

答案

（Ⅱ）当m=1/4时
,轨迹E的方程为x²/4+y²=1,
设圆的方程为x²+y²=r²（0＜r＜1）,当
切线斜率存在时,可设圆的任一切线方程为y=kx+t,
A（x1,y1）,B（x2,y2）,
所以|t|/根号（1+k²）=r,
即t²=r²（1+k²）．①
因为OA⊥OB,
所以x1x2+y1y1=0,
即x1x2+（kx1+t）（kx2+t）=0,
整理得（1+k²）x1x2+kt（x1+x2）+t2=0．②
由方程组x²/4+y²=1和y=kx+t
消去y得
（1+4k²）x+²8ktx+4t²-4=0．③
由韦达定理x1+x2=-8kt/1+4k²
x1•x2=4t²-4/1+4k²
代入②式并整理得
即5t²=4+4k²
结合①式有5r²=4,
r=2根号5/5∈(0,1),
当切线斜率不存在时,x²+y²=4/5也满足题意,
故所求圆的方程为x²+y²=4/5