题目

已知函数f(x)＝

−x3+x2+bx+c，x＜1 alnx，             x≥1

的图象过坐标原点O，且在点（-1，f（-1）） 处的切线的斜率是-5．
（1）求实数b，c的值；
（2）求f（x）在区间[-1，2]上的最大值．

提问时间：2020-07-27

答案

（1）当x＜1时，f（x）=-x3+x2+bx+c，∴f′（x）=-3x2+2x+b．…（2分）依题意f′（-1）=-5，∴-3（-1）2+2（-1）+b=-5，∴b=0，∴f（0）=0，∴c=0，∴b=0，c=0．…（4分）（2）当x＜1时，f（x）=-x3+x2，f′（x）=-3...

（1）当x＜1时，由f（x）=-x³+x²+bx+c，知f′（x）=-3x²+2x+b．依题意f′（-1）=-5，故b=0，再由f（0）=0，能求出c=0．
（2）当x＜1时，由f（x）=-x³+x²，知f′（x）=-3x²+2x，令f′（x）=0，得x=0，x=

2

3

．列表讨论，得f（-1）=2；f（0）=0；f（

2

3

）=

4

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；f（1）=0．由此进行分类讨论，能求出f（x）在区间[-1，2]上的最大值．

本题考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；分段函数的解析式求法及其图象的作法；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评：本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程的求法，具体涉及到导数的应用、函数的性质，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．易错点是分类不清导致出错．