题目
已知函数f(n),(n∈N),满足条件:①f(2)=2;②f(xy)=f(x)•f(y);
③f(n)∈N; ④当x>y时,有f(x)>f(y). (1)求f(1),f(3)的值.
(2)由f(1)f(2),f(3)的值,猜想f(n)的解析式. (3)证明你猜想的f(n)的解析式的正确性.
③f(n)∈N; ④当x>y时,有f(x)>f(y). (1)求f(1),f(3)的值.
(2)由f(1)f(2),f(3)的值,猜想f(n)的解析式. (3)证明你猜想的f(n)的解析式的正确性.
提问时间:2020-07-27
答案
(1):∵f(2)=f(2×1)=f(2)•f(1),又f(2)=2,∴f(1)=1.又∵f(4)=f(2•2)=f(2)•f(2)=4,2=f(2)<f(3)<f(4)=4,且f(3)∈N.∴f(3)=3.
(2)由f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3猜想f(n)=n(n∈N).
(3)用数学归纳法证明:
①当n=1时,f(1)=1,函数解析式成立;
②假设n≤k时,f(k)=k,函数解析式成立;
(i)若k+1=2m(m∈N),f(k+1)=f(2m)=f(2)•f(m)=2m=k+1.
(ii)若k+1=2m+1(m∈N),f(2m+2)=f[2(m+1)]=f(2)•f(m+1)=2(m+1)=2m+2,2m=f(2m)<f(2m+1)<f(2m+2)=2m+2.∴f(2m+1)=2m+1=k+1.
即n=k+1时,函数解析式成立.
综合①②可知,f(n)=n(n∈N)成立.
(2)由f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3猜想f(n)=n(n∈N).
(3)用数学归纳法证明:
①当n=1时,f(1)=1,函数解析式成立;
②假设n≤k时,f(k)=k,函数解析式成立;
(i)若k+1=2m(m∈N),f(k+1)=f(2m)=f(2)•f(m)=2m=k+1.
(ii)若k+1=2m+1(m∈N),f(2m+2)=f[2(m+1)]=f(2)•f(m+1)=2(m+1)=2m+2,2m=f(2m)<f(2m+1)<f(2m+2)=2m+2.∴f(2m+1)=2m+1=k+1.
即n=k+1时,函数解析式成立.
综合①②可知,f(n)=n(n∈N)成立.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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