题目
已知函数f(x)=lnx+
.
(1)讨论函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在[1,e]上的最小值是
,求a的值.
a |
x |
(1)讨论函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在[1,e]上的最小值是
3 |
2 |
提问时间:2020-07-27
答案
函数f(x)=lnx+
的定义域为(0,+∞),f′(x)=
−
=
…(1分)
(1)当a≤0时,∴f'(x)≥0故函数在其定义域(0,+∞)上是单调递增的. …(3分)
当a>0时,函数在(0,a)上是单调递减的,在(a,+∞)上是单调递减的…(5分)
(2)在[1,e]上,分别进行讨论.
①当a<1时,f'(0)>0,函数f(x)单调递增,其最小值为f(1)=a<1,这与函数f(x)在[1,e]上的最小值是
矛盾,所以不成立.
②当a=1时,函数f(x)单调递增,其最小值为f(1)=1,函数f(x)在[1,e]上的最小值是
矛盾,所以不成立.
③当1<a<e,函数f(x)在[1,a]上f'(x)<0,函数单调递减,在(a,e)上有f'(x)>0,此时喊得单调递增,
所以函数f(x)满足最小值为f(a)=lna+1=
,
解得a=
.
④当a=e时,函数f(x)在[1,a]上f'(x)<0,函数单调递减,其最小值为f(e)=2,与条件矛盾.
⑤当a>e时,函数f(x)在[1,e]上f'(x)<0,函数单调递减,其最小值为f(e)=1+
>2,与条件矛盾.
综上所述,a=
.
a |
x |
1 |
x |
a |
x2 |
x−a |
x2 |
(1)当a≤0时,∴f'(x)≥0故函数在其定义域(0,+∞)上是单调递增的. …(3分)
当a>0时,函数在(0,a)上是单调递减的,在(a,+∞)上是单调递减的…(5分)
(2)在[1,e]上,分别进行讨论.
①当a<1时,f'(0)>0,函数f(x)单调递增,其最小值为f(1)=a<1,这与函数f(x)在[1,e]上的最小值是
3 |
2 |
②当a=1时,函数f(x)单调递增,其最小值为f(1)=1,函数f(x)在[1,e]上的最小值是
3 |
2 |
③当1<a<e,函数f(x)在[1,a]上f'(x)<0,函数单调递减,在(a,e)上有f'(x)>0,此时喊得单调递增,
所以函数f(x)满足最小值为f(a)=lna+1=
3 |
2 |
解得a=
e |
④当a=e时,函数f(x)在[1,a]上f'(x)<0,函数单调递减,其最小值为f(e)=2,与条件矛盾.
⑤当a>e时,函数f(x)在[1,e]上f'(x)<0,函数单调递减,其最小值为f(e)=1+
a |
e |
综上所述,a=
e |
(1)求函数的定义域,利用导数研究函数的单调区间.
(2)利用导数确定函数的最小值,然后利用函数f(x)在[1,e]上的最小值是
,求a.
(2)利用导数确定函数的最小值,然后利用函数f(x)在[1,e]上的最小值是
3 |
2 |
利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.
本题主要考查导数与函数的单调性和最值之间的关系,要求熟练掌握导数的基本应用.
举一反三
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英语翻译
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