题目

已知函数f（x）=log₂（|x-1|+|x-5|-a）．
（1）当a=2时，求函数f（x）的最小值；
（2）当函数f（x）的定义域为R时，求实数a的取值范围．

提问时间：2020-07-27

答案

函数的定义域满足|x-1|+|x-5|-a＞0，即|x-1|+|x-5|＞a，
（1）当a=2时，f（x）=log₂（|x-1|+|x-5|-2）
设g（x）=|x-1|+|x-5|，则g(x)＝|x−1|+|x−5|＝

2x−6(x≥5) 4(1＜x＜5) 6−2x(x≤1)

．（3分）
g（x）_min=4，f（x）_min=log₂（4-2）=1．（5分）
（2）由（I）知，g（x）=|x-1|+|x-5|的最小值为4，7分|x-1|+|x-5|-a＞0，
∴a＜4
∴a的取值范围是（-∞，4）．（10分）

（1）设g（x）=|x-1|+|x-5|，则g(x)＝|x−1|+|x−5|＝

2x−6(x≥5) 4(1＜x＜5) 6−2x(x≤1)

．由此可知g（x）_min．
（2）由题意知，g（x）=|x-1|+|x-5|的最小值为4，|x-1|+|x-5|-a＞0，由此可知a的取值范围．

本题考点：对数函数的定义域；对数函数的单调性与特殊点．

考点点评：本题考查对数函数的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．