题目

方程lg2X/lg(x+a)=2,问a为何值时,方程有一解?
整理：
lg2x=2lg(x+a)
2x=(x+a)^2
得：
x^2+2(a-1)x+a^2=0
且2x＞0,x+a＞0,
对于以上一元二次方程,△=4[(a-1)^2]-4(a^2)=-8a+4,
分三种情况：
①当△＞0时,-8a+4＞0,a＜1/2
此时,方程有两解,
x={2-2a±[根号(4-8a)}/2=1-a±[根号(1-2a)]
此时x=(1-a)+[根号(1-2a)]＞0显然成立（正数加正数）；
对于x=(1-a)-[根号(1-2a)],由于(1-a)^2-(1-2a)=1-2a+a^2-1+2a=a^2＞0,所以,x=1-a-[根号(1-2a)]＞0也成立.
但是,由于要求x+a＞0,
所以,当a＜1/2且x+a＞0时,原方程有两解.
②当△=0,a=1/2
此时,方程为x^2-x+1/4=0,解得唯一解x=1/2
但是代入原方程可知此时分母为0,无意义
所以x=1/2不合题意,舍去,所以,a=1/2时原方程无解.
③当△＜0,a＞1/2时,原方程无解.
综上,
（1）当a＜1/2时,方程有两解；
（2）不存在a使方程有一解；
（3）当a≥1/2时,方程无解.我的疑惑是：1,由于(1-a)^2-(1-2a)=1-2a+a^2-1+2a=a^2＞0,怎么得到x=1-a-[根号(1-2a)]＞0也成立.
2,“所以,当a＜1/2且x+a＞0时,原方程有两解.”为什么是这样?由2x>0可得x>0,x+a>0,得a>-x,为什么不求-x的最大值再结合a0和2x>0,即x>0,a>-x,
是不是还应该求-x的最大值,然后来求a的取值范围,即便求不出,是不是也应满足a>-x呢?为什么只是a>1/2?

提问时间：2020-07-27

答案

lg2x=2lg(x+a)
2x=(x+a)^2
x^2+2(a-1)x+a^2=0 --- (1)
△=4[(a-1)^2]-4(a^2)=-8a+4=4(1-2a)
而原方程要求x>0,以及x+a>0,且x+a不等于1
所以,
当1-2a1/2时,方程(1)无解,则：原方程无解
当1-2a=0,即a=1/2时,方程(1)有一个解x=1-a=1/2
但此时,x+a=1,使得原方程不成立.
所以,a=1/2时,原方程无解.
当1-2a>0,即a0
x2=1-a-根号(1-2a)=(1/2)[根号(1-2a)-1]^2>=0
而：x1+a=1+根号(1-2a)>1
所以,x1一定是原方程的一个实数根
当：根号(1-2a)-1=0,即a=0时,x2=0不是原方程的根,所以,此时,原方程只有一个实根
当a不等于0,此时x2>0,
而x2+a=1-根号(1-2a)0,则：x2也是原方程的根,则：原方程有两个实根
此时,1-根号(1-2a)>0,a>0,结合a