题目
设函数f(x)=x3+bx2+cx(x∈R),若g(x)=f(x)-f′(x)是奇函数
(1)求b,c的值;
(2)求g(x)的单调区间.
(1)求b,c的值;
(2)求g(x)的单调区间.
提问时间:2020-07-27
答案
(1)∵f(x)=x3+bx2+cx,
∴f'(x)=3x2+2bx+c.
从而g(x)=f(x)-f'(x)=x3+bx2+cx-(3x2+2bx+c)=x3+(b-3)x2+(c-2b)x-c
是一个奇函数,所以g(0)=0得c=0,
由奇函数定义得b=3;
(2)由(1)知g(x)=x3-6x,从而g'(x)=3x2-6,
当g'(x)>0时,x<-
或x>
,
当g'(x)<0时,-
<x<
,
由此可知,(-∞,-
)和(
,+∞)是函数g(x)的单调递增区间;(-
,
)是函数g(x)的单调递减区间;
∴f'(x)=3x2+2bx+c.
从而g(x)=f(x)-f'(x)=x3+bx2+cx-(3x2+2bx+c)=x3+(b-3)x2+(c-2b)x-c
是一个奇函数,所以g(0)=0得c=0,
由奇函数定义得b=3;
(2)由(1)知g(x)=x3-6x,从而g'(x)=3x2-6,
当g'(x)>0时,x<-
2 |
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当g'(x)<0时,-
2 |
2 |
由此可知,(-∞,-
2 |
2 |
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2 |
(1)根据g(x)=f(x)-f'(x)是奇函数,且f'(x)=3x2+2bx+c能够求出b与c的值.
(2)对g(x)进行求导,g'(x)>0时的x的取值区间为单调递增区间,g'(x)<0时的x的取值区间为单调递减区间.
(2)对g(x)进行求导,g'(x)>0时的x的取值区间为单调递增区间,g'(x)<0时的x的取值区间为单调递减区间.
利用导数研究函数的单调性.
本题主要考查对导数的理解.导数大于0时可求原函数的单调递增区间,导数小于0时可求原函数的单调递减区间
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