题目
已知函数f(x)=ax+
x-2 |
x+1 |
提问时间:2020-07-27
答案
(1)函数在f(x)在(-1,+∞)上为增函数.
证明如下:设x1,x2∈(-1,+∞),且x1<x2,
∵a>1,
∴ax1-ax2<0,x1-x2<0,x1+1>0,x2+1>0
∴f(x1)-f(x2)=(ax1+
)-(ax2+
)=(ax1-ax2)+[
-
]=(ax1-ax2)+
<0,
f(x1)<f(x2)
∴函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.
证明:(2)假设f(x)=0 有负根 x0,且 x0≠-1,即 f(x0)=0.
根据f(0)=1+
=-1,可得 f(x0)>f(0)①.
若-1<x0<0,由函数f(x)=ax+
在(-1,+∞)是增函数,可得f(x0)<f(0)=-1,这与①矛盾.
若x0<-1,则 ax0>0,x0-2<0,x0+1<0,∴f(x0)>0,这也与①矛盾.
故假设不正确.
∴方程 ax+
=0 没有负根.
证明如下:设x1,x2∈(-1,+∞),且x1<x2,
∵a>1,
∴ax1-ax2<0,x1-x2<0,x1+1>0,x2+1>0
∴f(x1)-f(x2)=(ax1+
x1-2 |
x1+1 |
x2-2 |
x2+1 |
(x1-2)(x2+1) |
(x1+1)(x2+1) |
(x2-2)(x1+1) |
(x1+1)(x2+1) |
3(x1-x2) |
(x1+1)(x2+1) |
f(x1)<f(x2)
∴函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.
证明:(2)假设f(x)=0 有负根 x0,且 x0≠-1,即 f(x0)=0.
根据f(0)=1+
0-2 |
0+1 |
若-1<x0<0,由函数f(x)=ax+
x-2 |
x+1 |
若x0<-1,则 ax0>0,x0-2<0,x0+1<0,∴f(x0)>0,这也与①矛盾.
故假设不正确.
∴方程 ax+
x-2 |
x+1 |
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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