题目

已知a＞2，求证：log_（a-1）a＞log_a（a+1）

提问时间：2020-07-26

答案

证明（法一）：∵log(a−1)a−loga(a+1)＝

1

loga(a−1)

−loga(a+1)
=

1−(loga(a−1))•(loga(a+1))

loga(a−1)

．
因为a＞2，所以，log_a（a-1）＞0，log_a（a+1）＞0，
所以，log_a（a-1）•log_a（a+1）≤[

loga(a−1)+loga(a+1)

2

]2
=

[loga(a2−1)]2

4

＜

[logaa2]2

4

＝1
所以，log_（a-1）a-log_a（a+1）＞0，命题得证．
证明2：因为a＞2，所以，log_a（a-1）＞0，log_a（a+1）＞0，
所以，

log(a−1)a

loga(a+1)

＝

1 loga(a−1)

loga(a−1)

＝

1

(loga(a−1))•(loga(a+1))

由法1可知：log_a（a-1）•log_a（a+1）≤[

loga(a−1)+loga(a+1)

2

]2
=

[loga(a2−1)]2

4

＜

[logaa2]2

4

＝1
∴

1

loga(a−1)•loga(a+1)

＞1．
故命题得证