题目

已知抛物线y=ax^2+bx+c与x轴交于A(二减根号五,0）B(二加根号五,0）两点,与y轴交于C（0,-1）点.
求此抛物线的解析式及对称轴
以AB为直径的圆M是否经过C点,请说明理由
设平行于x轴的直线交抛物线于E,F两点,问是否存在以线段EF为直径的圆N恰好与X轴相切,若存在,求出圆N的半径,

提问时间：2020-07-26

答案

（1）求抛物线解析式有两种思路：
思路一：把已知的三点坐标代入解析式,求出a b c 即可;
思路二：把抛物线解析式设为 y = a [ x --( 2+√5 )] [ x --( 2--√5 )]
再把 （ 0,--1 ）代入求出a即可.
求得的抛物线解析式为： y = x² --4x --1
y = ( x -- 2 )² -- 5 ( 其对称轴为 x = 2 )
(2) 以AB为直径的圆M经过点 C .理由：
∵ A、 B 关于x 轴对称
∴ 以 AB 为直径的圆的圆心M 在对称轴上
∴ M 坐标为 （ 2 ,0 ）
∵ 圆M的直径AB = （ 2 + √5 ）--（ 2 -- √5 ）
= 2√5
∴圆M的半径为 √5 --------- （1）
在Rt△MOC 中,由勾股定理得：
MC² = MO² + OC²
= 2² + 1²
= 5
∴ MC = √5 -------------- （2）
由 （1）（2） 知 以AB为直径的圆M经过点 C .
（3）存在以线段EF为直径的圆N恰好与X轴相切,
圆N的半径为 （ √21 + 1 ）/ 2 或 （ √21 -- 1 ）/ 2 .
理由：
设圆N半径为 r , 圆N 与x 轴相切,分两种情形：
情形1： 当切与x轴上方时
直线EF 可表示为 y = r （ 该直线平行于x轴,且与x轴距离为 r ）
∵ EF是直径
∴ EF = 2r
解方程组 y = x² -- 4x --1 与 y = r 得
x² -- 4x -- (1 + r ) = 0 它的两根分别为 E和 F的横坐标.
∵ EF = 2r
∴ 两根之差 x2-- x1 = 2r
∴（ x2 -- x1 ）² = （ 2r ）²
∴（ x2 + x1 ）² -- 4x1 x2 = 4r²
∴ 4 ² -- 4 × [ -- ( 1 + r ) ] = 4r²
∴ r² -- r -- 5 =0
∴ r = （ 1 + √21 ）/ 2 （负值已舍）

情形2：当切于x轴下方时
设直线EF为 y = -- r ( r ＞0 )
由 x² -- 4x -- 1 = --r 及 （ x2 -- x1 ）² = （ 2r ）² 得
r² + r --5 = 0
r = （ √21 -- 1 ）/ 2 ( 负值已舍)
总结： 1、 熟练掌握在不同情形下 恰当 设抛物线解析式；
2、 注意分类讨论,全面考虑问题；
3、平时解题,注意严格提高"快速形成思路" 和 " 快速形成卷面" 的能力.