题目

数列{a_n}中，a₁=8，a₄=2且满足a_n+2=2a_n+1-a_n（ n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|，求S_n．

提问时间：2020-07-26

答案

（1）∵a_n+2=2a_n+1-a_n（ n∈N^*）
∴a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，
∴{a_n}为等差数列，设公差为d，
由a₁=8，a₄=2可得2=8+3d，解得d=-2，
∴a_n=8-2（n-1）=10-2n．
（2）令a_n=10-2n≥0，解得n≤5．
令T_n=a₁+a₂+…+a_n=

n(8+10−2n)

2

=9n-n²．
∴当n≤5时，S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a₁+a₂+…+a_n=T_n=9n-n²，
n≥6时，S_n=a₁+a₂+…+a₅-a₆-a₇…-a_n=T₅-（T_n-T₅）=2T₅-T_n=n²-9n+40．
故S_n=

9n−n2，n≤5 n2−9n+40，n≥6

．

（1）由a_n+2=2a_n+1-a_n（ n∈N^*），变形为a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，可知{a_n}为等差数列，由已知利用通项公式即可得出．
（2）令a_n=10-2n≥0，解得n≤5．令T_n=a₁+a₂+…+a_n=9n-n²．可得当n≤5时，S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a₁+a₂+…+a_n=T_n，n≥6时，S_n=a₁+a₂+…+a₅-a₆-a₇…-a_n=T₅-（T_n-T₅）=2T₅-T_n即可得出．

本题考点：数列递推式；数列的求和．

考点点评：本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、含有绝对值的数列的前n项和的求法、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于难题．