题目

设f(x)=x3-

3

2

(a+1)x2+3ax+1．
（Ⅰ）若函数f（x）在区间（1，4）内单调递减，求a的取值范围；
（Ⅱ）若函数f（x）在x=a处取得极小值是1，求a的值，并说明在区间（1，4）内函数f（x）的单调性．

提问时间：2020-07-26

答案

f'（x）=3x2-3（a+1）x+3a=3（x-1）（x-a）（2分）（1）∵函数f（x）在区间（1，4）内单调递减，∴f'（4）≤0，∴a∈[4，+∞）；（5分）（2）∵函数f（x）在x=a处有极值是1，∴f（a）=1，即a3-32(a+1)a2+3a2+1=-12a3...

（1）先求出导函数f'（x），然后根据函数f（x）在区间（1，4）内单调递减，则f'（4）≤0，可求出a的范围；
（2）根据函数f（x）在x=a处有极值是1，可知f（a）=1建立等式，解之即可求出a，然后将求出的a分别进行验证，从而求出在区间（1，4）内函数f（x）的单调性．

本题考点：利用导数研究函数的单调性．

考点点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，以及极值等有关知识，属于中档题．