题目

已知函数f（x）=

3

sin2x-2sin²x．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）求函数f（x）的零点的集合．

提问时间：2020-07-26

答案

（Ⅰ）∵f（x）=

3

sin2x-2sin²x=

3

sin2x+cos2x-1=2sin（2x+

π

6

）-1
故函数f（x）的最大值等于2-1=1
（Ⅱ）由f（x）=0得2

3

sin xcos x=2sin²x，于是sin x=0，或

3

cos x=sin x即tan x=

3

由sin x=0可知x=kπ；
由tan x=

3

可知x=kπ+

π

3

．
故函数f（x）的零点的集合为{x|x=kπ或x=kπ+

π

3

，k∈Z}

（Ⅰ）先根据二倍角公式和两角和与差的公式进行化简，再由正弦函数的最值可得到答案．
（Ⅱ）令f（x）=0可得到2

3

sin xcos x=2sin²x，进而可得到sin x=0或tan x=

3

，即可求出对应的x的取值集合，得到答案．

本题考点：三角函数的最值；集合的含义；函数的零点．

考点点评：本题主要考查二倍角公式、两角和与差的正弦公式的应用和正弦函数的基本性质．三角函数是高考的重点，每年必考，要强化复习．