题目

已知数列{a_n}与圆C₁：x²+y²-2a_nx+2a_n+1y-1=0和圆C₂：x²+y²+2x+2y-2=0，若圆C₁与圆C₂交于A，B两点且这两点平分圆C₂的周长．
（1）求证：数列{a_n}是等差数列；
（2）若a₁=-3，则当圆C₁的半径最小时，求出圆C₁的方程．

提问时间：2020-07-26

答案

（1）圆C₁：x²+y²-2a_nx+2a_n+1y-1=0转化为：(x-an)2+(y+an+1)2=an2+an+12+1，
圆心坐标为：（a_n，a_n+1），半径为：

an2+an+12+1

，
圆C₂，（x+1）²+（y+1）²=4，圆心坐标为：（-1，-1），半径为2，
圆C₁与圆C₂交于A，B两点且这两点平分圆C₂的周长．
则：|C1C2|2+r22=r12，
即：(an+1)2+(an+1-1)2+4=an2+an+12+1，
求得：an+1-an=

5

2

（常数），
所以：数列{a_n}是等差数列，
（2）由于a₁=-3，
根据（1）的结论求得：an=

5

2

n-

11

2

，
r=

an2+an+12+1

=

1

2

50n2-170n+161

，
当n=2时，r最小，所得的圆的方程为：x²+y²+x+4y-1=0．

（1）首先把圆的一般式转化为标准式，进一步利用特殊位置关系求出关系式，最后求的结论．
（2）利用二次函数的最值问题求得圆的方程．

本题考点：圆的一般方程；等差数列的通项公式．

考点点评：本题考查的知识要点：圆的一般式与顶点式的转化，等差数列定义的应用，二次函数最小值问题的应用．属于中等题型．