题目
f(x)=arcsinx,求f(0)的n阶导数.
提问时间：2020-07-26
答案
如果学过幂级数,就用幂级数的知识解决.下面给个不用幂级数的方法.
y'=1/根号(1－x^2),因此
(y')^2*(1－x^2)=1,求导得
2y'y''(1－x^2)+(y')^2(－2x)=0,由于y'不等于0,故有
y''(1－x^2)－xy'=0.求n次导数,利用Leibniz定理得
y^(n+2)+n*y^(n+1)(－2x)+n*(n－1)/2*y^(n)(－2)－xy^(n+1)－ny^(n)＝0.
令x＝0得y^(n+2)(0)＝n^2*y^(n)(0).
然后利用上面的递推关系式以及y(0)=0,y'(0)=1,可以得到
y^(2n)(0)=0,y^(2n+1)=(2n－1)(2n－3)...1＝(2n－1)!.
y'=1/根号(1－x^2),因此
(y')^2*(1－x^2)=1,求导得
2y'y''(1－x^2)+(y')^2(－2x)=0,由于y'不等于0,故有
y''(1－x^2)－xy'=0.求n次导数,利用Leibniz定理得
y^(n+2)+n*y^(n+1)(－2x)+n*(n－1)/2*y^(n)(－2)－xy^(n+1)－ny^(n)＝0.
令x＝0得y^(n+2)(0)＝n^2*y^(n)(0).
然后利用上面的递推关系式以及y(0)=0,y'(0)=1,可以得到
y^(2n)(0)=0,y^(2n+1)=(2n－1)(2n－3)...1＝(2n－1)!.
举一反三
已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
最新试题
热门考点