题目

设函数y=f（x）对于x＞0有意义，且满足条件：f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y），f（x）在（0，+∞）上为增函数，
①证明：f（1）=0；         
②求f（4）的值；
③如果f（x）+f（x-3）≤2，求x的取值范围．

提问时间：2020-07-26

答案

①令x=1代入题中条件，得f（y）=f（1）+f（y） 得f（1）=0；
②令x=y=2代入题中条件，
得f（2×2）=f（2）+f（2），得f（4）=2f（2）
∵f（2）=1，∴f（4）=2f（2）=2
③∵f（x）+f（x-3）≤2，
∴f（x（x-3））≤f（4）
结合f（x）在（0，+∞）上为增函数，可得

x(x−3)≤4 x＞0 x−3＞0

解之得 3＜x≤4，实数x的取值范围为（3，4]．

（1）将x=1代入条件，化简即得f（1）=0；
（2）令x=y=2代入题中条件，算出f（4）=2f（2），结合f（2）=1即可算出f（4）的值；
（3）根据函数对应法则，得f（x）+f（x-3）=f（x（x-3）），将不等式右边的2化成f（4），结合函数的定义域与单调性建立关于x的不等式组，解之即可得到实数x的取值范围．

本题考点：抽象函数及其应用．

考点点评：本题给出抽象函数，求函数的值并求解关于x的不等式．着重考查了函数单调性、函数值的求法等知识，属于中档题．利用“赋值法”使抽象函数问题具体化，是解决这类问题的关键所在．