题目

高一数学2道基本不等式及其应用的题目
已知x,y∈R+,m,n∈R,且m^2n^2>x^2m^2+y^2n^2,比较√m^2+n^2与x+y的大小关系
若a>0,b>0,且√a+√b

提问时间：2020-07-26

答案

这个…………
1、令m=Rcosθ,n=Rsinθ,则√m^2+n^2=R,而由已知有：R^4sin^2θcos^2θ＞R^2x^2cos^2θ+R^2y^2sin^2θ,即R^2＞x^2/sin^2θ+y^2/cos^2θ≥(x+y)^2/(cos^2θ+sin^2θ)=(x+y)^2,所以√m^2+n^2＞x+y.
注：x^2/sin^2θ+y^2/cos^2θ≥(x+y)^2/(cos^2θ+sin^2θ)的由来.其实这是一个更为广泛的不等式权方和不等式的特例,我们在这证明x^2/a+y^2/b≥(x+y)^2/（a+b),由柯西不等式得(a+b)*(x^2/a+y^2/b)≥(x+y)^2,除过来就是x^2/a+y^2/b≥(x+y)^2/（a+b),这个式子也可以用平均值不等式来证明,取a=cosθ,b=sinθ,就是x^2/sin^2θ+y^2/cos^2θ≥(x+y)^2/(cos^2θ+sin^2θ)了.
2、(√a+√b)^2=a+b+2√ab,由于a+b≥2√ab,所以(√a+√b)^2=a+b+2√ab≤2(a+b),√a+√b≤√2*√a+b,m=√2.