题目

已知α,β为锐角,向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),c=(1/2,-1/2)
①若ab=√2/2,ac=(√3-1)/4,求2β-α
②若a=b+c,求tanα的值

提问时间：2020-07-26

答案

(1)a·b=cosαcosβ+sinαsinβ
=cos（α-β）=√2/2
a·c=1/2cosα-1/2sinα
=√2/2cos（α+π/4）=(√3-1)/4
故cos（α+π/4）=(√6-√2)/4>0
故sin（α+π/4）=(√6+√2)/4
故sinα=sin（α+π/4-π/4)
=sin（α+π/4）cosπ/4-cos(α+π/4）sinπ/4
=1/2
因0<α<π/2
故π/4<α+π/4<3π/4
故-√2/2综合起来
0π/4<α+π/4<π/2
即0<α<π/4
又0<β<π/2
故-π/2<α-β<π/4
又cos（α-β）=√2/2
故α-β=-π/4
即β=α+π/4
故cos（2β-α）
=cos（2α+π/2-α）
=cos（α+π/2）
=-sinα
=-1/2
又-π/4<2β-α<π
故2β-α=5π/6
(2)因a=b+c
故有
cosα=cosβ+1/2 ①
sinα=sinβ-1/2 ②
上述两式消去β得：
（sinα+1/2）²+（cosα-1/2）²=1
展开,整理得：
sinα-cosα+1/2=0
故sinα=cosα-1/2
又sin²α+cos²α=1
解之得：
sinα=(√7-1）/4
cosα=（√7+1）/4
故
tanα=sinα/cosα
=(4-√7)/3