题目

设函数f(x)＝log2

x+1

x−1

+log2(x−1)+log2(p−x)，
（1）求函数的定义域．
（2）问f（x）是否存在最大值与最小值？如果存在，请把它写出来；如果不存在，请说明理由．

提问时间：2020-07-26

答案

（1）由

x+1 x−1 ＞0 x−1＞0 p−x＞0

，解得

x＞1 x＜p

①
当p≤1时，①不等式解集为空集；当p＞1时，①不等式解集为{x|1＜x＜p}，
∴f（x）的定义域为（1，p）（p＞1）．
（2）原函数即f(x)＝log2[(x+1)(p−x)]＝log2[−(x−

p−1

2

)2+

(p+1)2

4

]，
当

p−1

2

≤1，即1＜p≤3时，函数f（x）既无最大值又无最小值；
当1＜

p−1

2

＜p，即p＞3时，函数f（x）有最大值2log₂（p+1）-2，但无最小值．

（1）根据对数的真数大于0，可得不等式组，进而可得x的范围．
（2）把f（x）的解析式化简可得f（x）=log2[−(x−

p−1

2

)2+

(p+1)2

4

]，再讨论当

p−1

2

≤1和1＜

p−1

2

＜p时，根据二次函数的单调性看函数是否有最值．

本题考点：函数的定义域及其求法；函数的最值及其几何意义；对数的运算性质．

考点点评：本题主要考查了函数定义域和值域的求法．属基础题．