题目

数列an的前n项和为sn,存在常数A,B,C使得an+sn=An^2+Bn+C对任意正整数n都成立.
1,数列an是等差数列,
（1）若an=2n-1,求A,B,C的值.
（2）若C=0,a1=1,bn=1/an*an+1,P=∑（1+bn） （∑上面是2013,下面是i=1）
2,若A=-1/2,B=-3/2,C=1,设Cn=an+n
(1)求证：数列cn为等比数列.
（2）求数列nCn的前n项和Tn.

提问时间：2020-07-26

答案

1.(1).若an=2n-1,则Sn=n^2,所以2n-1+n^2=An^2+Bn+C,对比系数,A=1,B=2,C=-1;
(2)若C=0,a1=1,设an=1+(n-1)d=nd-d+1.所以Sn=n+n(n-1)d/2,所以,Sn+an=(d/2+1)n+d/2n^2-d+1,因为C=0,所以d=1,所以an=n,所以bn=1/an*(an+1),所以P=(1+1+1+.+1)+(1-1/2+1/2-1/3+.-1/2014）=2013+2013/2014=4096195/2014;
2.(1)因为an+Sn=An^2+Bn+C .1
所以a（n-1）+S（n-1）=A（n-1）^2+B（n-1）+C.2 『小括号里是下标』
1式减2式,得
2an=a(n-1)-n-1
两边加上2n,得2(an+n)=a(n-1)+n-1
即2Cn=C(n-1)
所以是公比为1/2的等比数列;
（2）求a1
a1=S1
所以2a1=-1,a1=-1/2
所以an=-1/2*(1/2)^(n-1)
所以Tn=-1/2*(1+2*1/2+3*(1/2)^2+4*(1/2)^3+.+n*(1/2)^(n-1))
1/2Tn=-1/2*(1*1/2+2*(1/2)^2+3*(1/2)^3+4*(1/2)^4+.+n*(1/2)^n)
上式减下式,得
1/2Tn=-1/2*(1+1/2+(1/2)^2+.+(1/2)^(n-1)-n*(1/2)^n)=-1/2*(2-(1/2)^(n-1)-n*(1/2)^n)
乘上2,得Tn=2-（2+n)*(1/2)^n OK