题目

（1）m为何值时，f（x）=x²+2mx+3m+4①有且仅有一个零点；②有两个零点且均比-1大；
（2）若函数f（x）=|4x-x²|+a有4个零点，求a取值范围．

提问时间：2020-07-26

答案

（1）①若函数f（x）=x²+2mx+3m+4有且仅有一个零点，
则等价于△=4m²-4（3m+4）=0，
即4m²-12m-16=0，即m²-3m-4=0，解得m=4或m=-1
②若f（x）有两个零点且均比-1大，
结合二次函数图象可知只需满足

△＝4m2−4(3m+4)＞0 − 2m 2 ＞−1 f(−1)＞0

等价于

m2−3m−4＞0 m＜1 1−2m+3m+4＞0

⇔

m＞4或m＜−1 m＜1 m＞−5

，
故-5＜m＜-1，∴m的取值范围是{m|-5＜m＜-1}．
（2）若f（x）=|4x-x²|+a有4个零点，
即|4x-x²|+a=0有四个根，即|4x-x²|=-a有四个根，
令g（x）=|4x-x²|，h（x）=-a．则作出g（x）的图象，
由图象可知要使|4x-x²|=-a有四个根，则g（x）与h（x）的图象应有4个交点．
故需满足0＜-a＜4，即-4＜a＜0．∴a的取值范围是（-4，0）．

（1）二次函数结合图象求解，函数f（x）=x²+2mx+3m+4有且仅有一个零点，等价于△=4m²-4（3m+4）=0．
（2）利用函数图象求解，g（x）=|4x-x²|和h（x）=-a的图象有4个交点，如图所示．

本题考点：函数的零点；函数的零点与方程根的关系．

考点点评：本题考查函数零点，零点与方程的根的关系，体现了数形结合的数学思想．