题目

已知等差数列{a_n}中a₂=8，S₁₀=185．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）若从数列{a_n}中依次取出第2，4，8，…，2ⁿ，…项，按原来的顺序排成一个新数列{b_n}，试求{b_n}的前n项和A_n．

提问时间：2020-07-26

答案

（1）设{a_n}的首项为a₁，公差为d，
∴

a1+d＝8 10(2a1+9d) 2 ＝185

a1＝5 d＝3

∴a_n=5+3（n-1），即a_n=3n+2
（2）设b₁=a₂，b₂=a₄，b₃=a₈，b_n=a2n=3×2ⁿ+2
∴A_n=（3×2+2）+（3×2²+2）+…+（3×2ⁿ+2）=3×（2+2²+…+2ⁿ）+2n=3×

2(2n−1)

2−1

+2n=6×2ⁿ-6+2n

（1）由题意等差数列{a_n}中a₂=8，S₁₀=185，利用通项公式及前n项和公式建立首项与公差的方程求出即可得到数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）从数列{a_n}中依次取出第2，4，8，…，2ⁿ，…项，按原来的顺序排成一个新数列{b_n}，研究知其通项是3×2ⁿ+2，故求{b_n}的前n项和A_n时要用分组求和法．

本题考点：等差数列与等比数列的综合；等差数列的通项公式．

考点点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查由等差数列的性质求其通项，以及据其性质构造等比数列，利用分组求和的技巧求新数列的和，其特征是一个数列的通项如果一个等差数列的项与一个等比数列的项，则可以采用分组的方法求和．