题目

已知△ABC，AB边中点为D，E、F分别在AC、BC边上运动，求证：S_△DEF≤S_△ADE+S_△BDF．

提问时间：2020-07-26

答案

证明：过点B作BG∥AC，交ED的延长线与点G，连接GF，如图所示．
∵BG∥AC，∴∠GBD=∠EAD．
在△GBD和△EAD中，

∠GBD＝∠EAD BD＝AD ∠BDG＝∠ADE

．
∴△GBD≌△EAD（ASA），
∴DG=DE，S_△BDG=S_△ADE．
∵DG=DE，∴S_△DGF=S_△DEF．
∵S_△DGF≤S_△BDG+S_△BDF，
∴S_△DEF≤S_△ADE+S_△BDF．

过点B作BG∥AC，交ED的延长线于点G，连接GF，易证△GBD≌△EAD，从而得到DG=DE，S_△BDG=S_△ADE．由DG=DE可得S_△DGF=S_△DEF．然后利用S_△DGF≤S_△BDG+S_△BDF就可解决问题．

本题考点：面积及等积变换．

考点点评：本题考查了全等三角形的判定与性质、等积变换等知识，当条件中出现中点时，可通过添加平行线，构造全等三角形，实现等量代换．