题目

一道数列题,
已知数列an的首项a1=1,且存在常数p,r,t(其中r≠0),使得an+an+1=r·2^(n-1)与an+1=pan +pt对于任意正整数n都成立.求常数p,r,t的值,写出an通项公式

提问时间：2020-07-26

答案

a(n+1)+an=r*2^(n-1) 1
a(n+1)-p*an=p*t 2
a1=1
想要求出p,r,t,只需要分别求出两个数列的通项,使其对应参数相等即可
对于数列1：
假定a(n+1)+an=r(m*2^(n+1)+m*2^n)
则3*m=1/2,m=1/6
a(n+1)-(r/6)*2^(n+1)=(-1)(an-(r/6)*2^n)
a(n)=(-1)^(n-1)(a1-r/3)+(r/6)*2^n
对于数列2：
假定a(n+1)-p*an=p*(k*t-pk*t)
则k=1/(1-p),
a(n+1)-p*t/(1-p)=p*(an-p*t/(1-p))
an=p^(n-1)(a1-p*t/(1-p))+p*t/(1-p)
比较两式,由于r≠0,则数列2常数项必须为0
根据通项,p≠0,得出t=0,可进一步推出p=2,r=3
代入得到,an=2^(n-1)