题目

若两个方程x^2+ax+b=0和x^2+bx+a=0有唯一公共解,则_____.
A.a=b B.a+b=0
C,a+b=1 D.a+b=-1

提问时间：2020-07-26

答案

设公共根为y
则y^2+ay+b=0,y^2+by+a=0
两式相减得(a-b)y+(b-a)=0
所以y=1
代入原方程得1+a+b=0
所以a+b=-1 D
因为方程x^2+mx+n=0与x^2+px+q=0有一个公共根,
那么他们的德塔（b的平方减4ac）相同,
所以m=p a=a n=q
因为m减p等于0,0乘任何数等于0,所以（m-p)（mq-np）等于0
又因为n等于q,所以（n-q)^2等于0,
所以（m-p)（mq-np）+（n-q)^2=0
或者
∵方程x²+ax+b=0.①
x²+bx+a=0.②有一个公共根
由①－②得：
ax-bx＋b－a＝0
∴x＝1
令方程①的另一根为x1,方程②的另一根为x2
∵ab＝－6
则1+x1＝-a,x1＝b
1+x2＝－b,x2＝a
∴x1（1+x1）＝6.③
x2（1+x2）＝6.④
由③,④可解得：x1＝2或3,x2＝2或3
又方程①,②只有一个公共根
∴x1＝2,x2＝3或x1＝3,x2＝2
∴x1+x2＝5,x1x2＝6
∴以非公共根为根的一元二次方程为x²-5x+6＝0.