题目

已知椭圆方程x2a2+y22=1(a>b>0),设F为椭圆的一个焦点,P是椭圆上的一点
①一平行于x轴的直线L交椭圆于AB两点,求证AF+BF为定值
②社长轴的两端点为AB连接AP,BP分别交短轴所在直线于MN,求证：OM*ON为定值

提问时间：2020-07-26

答案

1）设F2为另一焦点,易知y轴将线段|AB|,|FF2|垂直平分
根据对称性,可知AFF1B四点构成等腰梯形,对角线相等,有AF1=BF,
所以AF+BF=AF+AF1=2a,为定值
2）由已知A(-a,0),B(a,o)设P(m,n)则m^2/a^2+n^2/b^2=1(方程一)
A(-a,0),P(m,n),M(0,y1)三点共线,可求得M(0,na/(m-a))
同理根据B,P,N(0,y2)三点共线,可求得N(0,-na/(m+a))
所以OM*ON=|y1*y2|=(n^2*a^2)/(m^2-a^2)
将方程一变形带入上式
可得OM*ON=b^2,为定值.
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