题目

三角形ABC中,A,B为锐角,sin(A+B)=sinA^2+sinB^2,判断三角形ABC的形状
因为 (sin A)^2 +(sin B)^2 =sin (A+B)
=sin A cos B +sin B cos A,
所以 sin A (sin A -cos B) +sin B (sin B -cos A) =0.(*)
又因为 A,B 为锐角,
所以 sin A>0,sin B>0.
(1) 若 A+B =π/2,
则 cos B =cos (π/2 -A) = sin A,
cos A =cos (π/2 -B) = sin B.
所以 sin A (sin A -cos B) +sin B (sin B -cos A) =0.
满足条件(*).
此时,C =π -(A+B) =π/2.
即 ΔABC 为直角三角形.
(2) 若 A+B >π/2,
则 A >π/2 -B,
B >π/2 -A.
又因为 A,B,π/2-A,π/2-B是锐角,
所以 sin A >sin (π/2 -B) =cos B,
sin B >sin (π/2 -A) =cos A.
所以 sin A -cos B >0,
sin B -cos A >0.
所以 sin A (sin A -cos B) +sin B (sin B -cos A) >0.
不满足条件(*).
所以 A+B >π/2 不成立.
(3) 若 A+B

提问时间：2020-07-26

答案

令 x =sin A,y =sin B.因为 A,B 是锐角,所以 x>0,y>0,且 cos A =√(1 -x^2),cos B =√(1 -y^2).又因为 (sin A)^2 +(sin B)^2 =sin (A+B)=sin A cos B +cos A sin B,所以 x^2 +y^2 =x √(1 -y^2) +y √(1 -x^2).所以 ...