题目

请问怎样用有限覆盖定理证明区间套定理
在大学数学分析中的实数理论部分,书中仅仅给出了一个 方向的 证明 但是他们 既然等价 必可以反方向证明

提问时间：2020-07-26

答案

an和bn会收敛于一个数这是很容易就可以得到的——因为an单调有上界,bn单调有下界,而他们的差的极限为零,从而他们极限相等.
重要的是这个极限（设它为t）是所有区间的唯一公共点.唯一性也可以由极限的唯一性得到,剩下的就是它是所有区间的公共点了.
用反证法.
我们先构造一个开区间集,它能覆盖【a0,b0】：对某一x属于【a0,b0】,它若不属于某一个子区间【an0,bn0】,从而当n>n0,有x亦不会属于【an,bn】,从而就存在x的某一个邻域Ex,它与所有n>n0的【an,bn】的交集为空（这里n>n0,而n0的取值跟x的取值有关）.假设这些子区间没有公共点,即所有的x属于【a0,b0】都有这样的结论了,那么所有属于[a0,b0]的x都可以有这样的邻域,所有的邻域放在一起就成为了[a0,b0]的一个开覆盖,按有限覆盖定理,那这些无限个邻域中存在[a0,b0]的有限覆盖,既然是有限个,那就是有有限个x,那与x有关的n0也就只有有限个了,取在这有限个n0的最大值nm,那当n>nm时,[an,bn]就会与这有限个开区间的交集都为空,而那些开区间是整个[a0,b0]的覆盖,当然会覆盖【an,bn】,矛盾,这就说明并不是所有的x都不属于某一个子区间【an0,bn0】,这些所有的子区间是有公共点的（设为s）.
接着就证明这个点就是t就行了：利用夹逼定理,an