题目

椭圆x^/4+y^2/3=1的左焦点为F,直线x=m与椭圆相交于A、B,当三角形FAB的周长最大时,求三角形FAB的面积.

提问时间：2020-07-26

答案

设椭圆的右焦点为E．如图：

由椭圆的定义得：△FAB的周长：AB+AF+BF=AB+（2a-AE）+（2a-BE）=4a+AB-AE-BE；
∵AE+BE≥AB；
∴AB-AE-BE≤0,当AB过点E时取等号；
∴AB+AF+BF=4a+AB-AE-BE≤4a；
即直线x=m过椭圆的右焦点E时△FAB的周长最大；
此时△FAB的高为：EF=2．
此时直线x=m=c=1；
把x=1代入椭圆x^2/ 4 +y^2/ 3 =1的方程得：y=±3 2 ．
∴AB=3．
所以：△FAB的面积等于：S△FAB=(1/ 2 )×3×EF=(1/ 2) ×3×2=3．

 
请指教!