题目

方程组❶2x＋y＝z－1,❷8x³＋y³＝z²－1的正整数解(x,y,z)是________.

提问时间：2020-07-26

答案

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所有整数解为（1,0,3）,（1,3,6）,（0,-1,0）,（0,2,3）和所有类似（n,-2n,1）形式的无穷多组.
正整数解仅有1,3,6一组.
方程组 2x+y=z-1 ①,8x³+y³=z²-1 ②
根据①,可得 2x+y+2=z+1
所以z²-1=(z-1)(z+1)=(2x+y)(2x+y+2)
而8x³+y³=(2x+y)(4x²+y²-2xy)
所以(2x+y)(4x²+y²-2xy)=(2x+y)(2x+y+2)
即(2x+y)(4x²+y²-2xy-2x-y-2)=0.
（1）若2x+y=0,则代入①,得z=1,确实也满足②,所以有无穷多组（n,-2n,1）（n为整数）,经验证符合条件.
（2）若2x+y‡0,则必须4x²+y²-2xy-2x-y-2=0,
消去xy交叉项,得3x²+(x-y)²-3x+(x-y)=2,
乘以4,得3(4x²-4x)+4(x-y)²+4(x-y)=8,
加4后配方,得3(2x-1)²+(2x-2y+1)²=12.
因为2x-1和2x-2y+1都是奇数,所以只能是3×1²+3²=12.
考虑到正负号的组合,共计如下四种情况：
2x-1=1,2x-2y+1=3,得（x,y,z）=（1,0,3）,经验证符合条件.
2x-1=1,2x-2y+1=-3,得（x,y,z）=（1,3,6）,经验证符合条件.
2x-1=-1,2x-2y+1=3,得（x,y,z）=（0,-1,0）,经验证符合条件.
2x-1=-1,2x-2y+1=-3,得（x,y,z）=（0,2,3）,经验证符合条件.
综上所述,我们已经无遗漏地求出了所有满足方程组的整数解,收工.