题目

若方程lg（kx）=2lg（x+1）只有一个实数解，则实数k的取值范围为______．

提问时间：2020-07-26

答案

若k=0，则lg（kx）无意义，此时方程lg（kx）=2lg（x+1）无实根；
若k＞0，则方程lg（kx）=2lg（x+1）只有一个实数解，即
kx=（x+1）²只有一个正根，
则

2−k＜0 (2−k)2−4＝0

，
解得：a=4
若k＜0，由于方程lg（kx）=2lg（x+1）只有一个实数解，
分别作出函数y=lg（kx）和y=2lg（x+1）的图象，它们始终有一个交点，
∴方程lg（kx）=2lg（x+1）只有一个实数解，
∴k＜0符合题意．
综上满足条件的实数k的范围k＜0或k=4．
故答案为：k＜0或k=4．

由于k出现在真数位置，故我们可以对k分大于0，等于0，小于0三种情况进行讨论，然后利用对数函数的运算性质，将问题转化为整式方程根的个数问题，结合韦达定理及图解法，即可得到结论．

本题考点：根的存在性及根的个数判断．

考点点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中利用对数函数的运算性质，将问题转化为整式方程根的个数问题，是解答本题的关键．