题目

已知命题p：函数f（x）=ax³+3x²-x+1在R上是减函数；命题q：在平面直角坐标系中，点（-1，a）在直线x+y-3=0的左下方．若“p∧q”为假，“p∨q”为真，求实数a的取值范围．

提问时间：2020-07-25

答案

f′（x）=3ax²+6x-1，
∵函数f（x）在R上是减函数，
∴f′（x）≤0即3ax²+6x-1≤0（x∈R）．
（1）当a=0时，对x∈R，f′（x）≤0不恒成立，故a≠0．
（2）当a≠0时，要使3ax²+6x-1≤0对任意的x∈R均成立，
应满足

3a＜0 △＝62+12a≤0

，解得a≤-3，
∴命题p为真命题时，实数a的取值范围是a≤-3．
由点（-1，a）在直线x+y-3=0的左下方，得到-1+a-3=0，即a＜4
∴命题q为真命题时，实数a的取值范围是a＜4
若“p∧q”为假，“p∨q”为真，则命题p，q中一个为真一个为假
若p真q假，a无解；若p假q真，-3＜a＜4，
综上所述，a的取值范围是（-3，4）．

我们可以求出命题p为真命题与命题q为真命题时，实数a的取值范围，
又由“p或q”为真，“p且q”为假，构造关于a的不等式组，解不等式组即可得到实数a的取值范围．

本题考点：复合命题的真假．

考点点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，其中根据已知条件，求出命题p与命题q为真或假时，实数a的取值范围，是解答本题的关键．