题目

有一个椭圆与双曲线共焦点,焦点分别为F1,F2,P为椭圆于双曲线的一交点,如果向量PF1点乘向量PF2等于0,
（接题目）曲线的离心率为e2,椭圆离心率为e1,求e1平方分之一加上e2平方分之一的和?

提问时间：2020-07-25

答案

有一个椭圆与双曲线共焦点,焦点分别为F₁,F₂,P为椭圆于双曲线的一交点,如果向量PF₁•PF₂=0,双曲线的离心率为e₂,椭圆离心率为e₁,求1/e²₁+1/e²₂的值.
∵PF₁•PF₂=0,∴PF₁⊥PF₂,故在RT△F₁PF₂中,设∠PF₁F₂=θ,那么
│PF₁│=2ccosθ,│PF₂│=2csinθ,设椭圆的长半轴为a₁,双曲线的长半轴为a₂,那么,
对椭圆有 │PF₁│+│PF₂│=2c(cosθ+sinθ)=2a₁,故1/e₁=a₁/c₁=cosθ+sinθ
对双曲线有 │PF₁│-│PF₂│=2c(cosθ-sinθ)=2a₂, 故1/e₂=a₂/c₂=cosθ-sinθ
于是 1/e²₁+1/e²₂=(cosθ+sinθ)²+(cosθ-sinθ)²=(1+2sinθcosθ)+(1-2sinθcosθ)=2