题目

三角函数题：设三角形ABC的面积为S,S的范围为根号3到3,且向量AB乘以向量BC等于6,向量AB与向量BC的夹角为θ.
求：（1）θ的取值范围!（2）求函数f(θ)=（sinθ）平方+2sinθcosθ+3倍cosθ的平方的最小值.
2.已知向量m=（cosθ,sinθ）和n=(根号2-sinθ,cosθ),θ∈（π,2π）且|m+n|=5分之8倍根号2,求cos(θ/2+π/8)的值?

提问时间：2020-07-25

答案

1
1)
做AD垂直BC于D
三角形ABC的面积＝1/2 *AD*BC=1/2 *AB *BC &sinθ
已知三角形ABC的面积S满足 √3≤S≤3,且向量AB乘以向量BC等于6
(√3)/3≤sinθ≤1
θ∈[∏/3,2∏/3]
2)
f(θ)=（sinθ)^2+2sinθcosθ+3(cosθ)^2=(sinθ+cosθ)^2+2(cosθ)^2≥｜2(sinθ+cosθ)(√2cosθ)｜
以上仅当sinθ+cosθ＝√2cosθ时,等式成立
当sinθ/cosθ＝√2-1时.
f(θ)≥｜2(sinθ+cosθ)(√2cosθ)｜=(2√2)(tanθ+1)(cosθ)^2=4(cosθ)^2＝4/(1+(tanθ)^2)=4/(4-2√2)=2+√2
即当tanθ＝√2－1时,f(θ)取最小值2+√2
2.|m｜＝√(sinθ^2+cosθ^2)＝1
｜n｜＝√(2－2√2sinθ+sinθ^2+cosθ^2)=√(3-2√2sinθ)
|m+n|=(8√2)/5
(1+√(3-2√2sinθ)) =(8√2)/5
整理
sinθ=8/5-(9√2/50)
cosθ=√(1-sinθ^2)
再求出
cos(θ+π/4)=cosθcosπ/4 - sinθsinπ/4
再求出
cos(θ/2+π/8)＝－√（（1+cos(θ+π/4)）/2 ）