题目

已知函数f（x）=a/e的x次方+e的x次方/a在R上是偶函数,则（1）.求出a的值 （2）若f（x）在（0,正无穷大]
上是增函数,求在这个区间的最大值和最小值

提问时间：2020-07-25

答案

f(x) = a/e^x + e^x/a在R上是偶函数
f(-x) = f(x)
a/e^(-x) + e^(-x)/a= a/e^x + e^x/a
ae^x + 1/(ae^x) = a/e^x + e^x/a
(a-1/a)e^x -(a-1/a)*1/e^x = 0
(a-1/a)(e^x-1/e^x) = 0
除了x=0时之外,e^x-1/e^x≠0
∴a-1/a=0 ,∴a^2=1
∴a=±1
a=-1时,f(x) = -1/e^x + e^x/(-1) = -e^(-x) - e^x
f‘(x) = -e(-x)*(-1)-e^x = e^(-x)-e^x
x≥0时,e^(-x)≤1,e^x≥1,f‘(x) = e^(-x)-e^x ≤0,f(x)单调减,不符合题目关于单调增的要求.
a=1时,f(x) = 1/e^x + e^x/1 = e^(-x) + e^x
f‘(x) = e(-x)*(-1)+e^x = -e^(-x)+e^x
x≥0时,e^(-x)≤1,e^x≥1,f‘(x) = -e^(-x)+e^x ≥0,f(x)单调增,符合题目关于单调增的要求
此时当x=0时,取最小值f(0) = 1/e^0+e^0=1+1=2
x趋近于+∞时,1/e^x 趋近于0,e^x趋近于+∞,最大值不存在