题目

设{a_n}为公差大于0的等差数列，S_n为数列{a_n}的前n项的和．已知S₄=24，a₂a₃=35．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）若bn＝

1

anan+1

，求{b_n}的前n项和T_n．

提问时间：2020-07-25

答案

（I）∵S₄=

4(a1+a4)

2

=2（a₂+a₃）=24，
由

a2+a3＝12 a2a3＝35

解得a₂=5，a₃=7，或a₂=7，a₃=5，（4分），
∵d＞0，
∴a₂=5，a₃=7，
于是d=a₃-a₂=2，a₁=3，（6分）
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1（18分）
（II）b_n=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

（

1

2n+1

-

1

2n+3

）（10分）
∴T_n

1

2

[（

1

3

-

1

5

）+（

1

5

-

1

7

）+…+（

1

2n+1

-

1

2n+3

）]=

n

6n+9

（12分）

（Ⅰ）利用等差数列的通项公式与求和公式可得到关于a₂与a₃的方程组，解之即可求求得数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a_n=2n+1，由裂项法可求得b_n=

1

2

（

1

2n+1

-

1

2n+3

），从而可求{b_n}的前n项和T_n．

本题考点：数列的求和；等差数列的通项公式．

考点点评：本题考查数列的求和，突出考查等差数列的通项公式与裂项法求和的应用，考查方程思想，属于中档题．