题目
已知a∈R,函数f(x)=(-x2+ax)e-x(x∈R,e为自然对数的底数).
(I)当a=-2时,求函数,f(x)的单调递减区间;
(Ⅱ)若函数f(x)在(-1,1)内单调递减,求a的取值范围;
(III)函数f(x)是否为R上的单调函数,若是,求出a的取值范围:若不是,请说明理由.
(I)当a=-2时,求函数,f(x)的单调递减区间;
(Ⅱ)若函数f(x)在(-1,1)内单调递减,求a的取值范围;
(III)函数f(x)是否为R上的单调函数,若是,求出a的取值范围:若不是,请说明理由.
提问时间:2020-07-25
答案
(Ⅰ)当a=-2时,f(x)=(-x2-2x)e-x;f′(x)=(x2-2)e-x
令f′(x)<0,得x2-2<0,∴-
<x<
∴f(x)的单调递减区间是(-
,
);
(Ⅱ)f′(x)=[x2-(a+2)x+a]e-x,若f(x)在(-1,1)内单调递减,即当-1<x<1时,f′(x)≤0,
即x2-(a+2)x+a≤0对x∈(-1,1)恒成立;
令g(x)=x2-(a+2)x+a,则
∴
,解得a≤-
;
(III)f′(x)=[x2-(a+2)x+a]e-x,其正负取决于二次式x2-(a+2)x+a,该二次式值(首项为正)不可能永为负,也就是说原函数不可能是整个实数域上的单调递减函数;
若要成为单调递增函数,则x2-(a+2)x+a≥0对x∈R恒成立
∵△=(a+2)2-4a=a2+4>0
∴函数不可能在R上单调递增
综上可知,函数f(x)不可能为R上的单调函数.
令f′(x)<0,得x2-2<0,∴-
2 |
2 |
∴f(x)的单调递减区间是(-
2 |
2 |
(Ⅱ)f′(x)=[x2-(a+2)x+a]e-x,若f(x)在(-1,1)内单调递减,即当-1<x<1时,f′(x)≤0,
即x2-(a+2)x+a≤0对x∈(-1,1)恒成立;
令g(x)=x2-(a+2)x+a,则
|
∴
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3 |
2 |
(III)f′(x)=[x2-(a+2)x+a]e-x,其正负取决于二次式x2-(a+2)x+a,该二次式值(首项为正)不可能永为负,也就是说原函数不可能是整个实数域上的单调递减函数;
若要成为单调递增函数,则x2-(a+2)x+a≥0对x∈R恒成立
∵△=(a+2)2-4a=a2+4>0
∴函数不可能在R上单调递增
综上可知,函数f(x)不可能为R上的单调函数.
(Ⅰ)求导函数,令f′(x)<0,可得f(x)的单调递减区间;
(Ⅱ)f′(x)=[x2-(a+2)x+a]e-x,若f(x)在(-1,1)内单调递减,即当-1<x<1时,f′(x)≤0,即x2-(a+2)x+a≤0对x∈(-1,1)恒成立,变换主元,可得不等式组,从而可求a的值;
(III)判断函数不可能是整个实数域上的单调递减函数;要成为单调递增函数,则x2-(a+2)x+a≥0对x∈R恒成立,判断其不可能,即可得到结论.
(Ⅱ)f′(x)=[x2-(a+2)x+a]e-x,若f(x)在(-1,1)内单调递减,即当-1<x<1时,f′(x)≤0,即x2-(a+2)x+a≤0对x∈(-1,1)恒成立,变换主元,可得不等式组,从而可求a的值;
(III)判断函数不可能是整个实数域上的单调递减函数;要成为单调递增函数,则x2-(a+2)x+a≥0对x∈R恒成立,判断其不可能,即可得到结论.
函数的单调性及单调区间;函数单调性的性质.
本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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