题目
已知函数f(x)在(0,+∞)上满足f(xy)=f(x)+f(y),且f(x)在定义域内是减函数.
(1)求f(1)的值;
(2)若f(2a-3)<0,试确定a的取值范围.
(1)求f(1)的值;
(2)若f(2a-3)<0,试确定a的取值范围.
提问时间:2020-07-25
答案
(1)∵函数f(x)在(0,+∞)上满足f(xy)=f(x)+f(y),
∴f(1)=f(1)+f(1),解得f(1)=0.
(2)∵f(x)在定义域内是减函数,f(2a-3)<0=f(1),
∴
,解得a>2.
∴a的取值范围是(2,+∞).
∴f(1)=f(1)+f(1),解得f(1)=0.
(2)∵f(x)在定义域内是减函数,f(2a-3)<0=f(1),
∴
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∴a的取值范围是(2,+∞).
(1)由函数f(x)在(0,+∞)上满足f(xy)=f(x)+f(y),令x=y=1,能求出f(1)=0.
(2)由f(x)在定义域内是减函数,f(2a-3)<0=f(1),知
,由此能求出a的取值范围.
(2)由f(x)在定义域内是减函数,f(2a-3)<0=f(1),知
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抽象函数及其应用;奇偶性与单调性的综合.
本题考查抽象函数的性质及其应用,解题时要认真审题,注意等价转化思想的合理运用.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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