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题目
计算二重积分
xysin(x+y)
积分区域x=0 y=0 x+y=π/2

提问时间:2020-07-25

答案
[-x*cos(x+y)]' = x*sin(x+y) - cos(x+y)
x*sin(x+y) = cos(x+y) - [x*cos(x+y)]'
以上是对 x 求导 的结果.把y暂看作常数.
二重积分,可以先把y看作常数,对x进行积分.然后再对y积分.
∫∫xysin(x+y) dxdy
= ∫y [∫xsin(x+y) dx] dy
= ∫y {∫cos(x+y) - [x*cos(x+y)]' dx } dy
= ∫y [∫cos(x+y) dx] dy - ∫y ∫[x*cos(x+y)]' dx dy
= ∫y sin(x+y) dy - ∫xycos(x+y) dy
对于其中第一项,仍然采用分部积分法
∫y sin(x+y) dy
= ∫ {cos(x+y) - [y*cos(x+y)]' } dy
= sin(x+y) - y*cos(x+y)
对于第二项
∫xycos(x+y) dy
= x∫ycos(x+y) dy
= x ∫ {[ysin(x+y)]' - sin(x+y) } dy
= xysin(x+y) + xcos(x+y)
因此 原二重积分结果为
sin(x+y) - y*cos(x+y) - xysin(x+y) - xcos(x+y)
= (1 -xy)sin(x+y) - (x+y) cos(x+y)
(经对x和y求导检验后,上述结果正确)
以下限代入
= (1 - 0)*sin0 - (0+0)cos0
= 0
以上限 x+y=π/2 代入
= 1 - xy
= 1 - x(π/2 - x)
= 1 - πx/2 + x^2
其中 x ∈[0,π/2]
上限 为 x+y = π/2.但 x 和y 本身并非定值.这导致了积分结果依然是一个函数.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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