题目

对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y=f（x）的导函数y=f′（x） 的导数，若f″（x）=0 有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”．已知函数f（x）=x³-3x²+2x-2，请解答下列问题：
（1）求函数f（x）的“拐点”A的坐标；
（2）求证f（x）的图象关于“拐点”A对称．

提问时间：2020-07-25

答案

（1）∵f'（x）=3x2-6x+2，∴f''（x）=6x-6，令f''（x）=6x-6=0，得x=1，f（1）=-2 所以“拐点”A的坐标为（1，-2）（2）设P（x0，y0）是y=f（x）图象上任意一点，则y0＝x03−3x02+2x0−2 ∴P（x0，y0）关...

（1）根据“拐点”的定义求出f''（x）=0的根，然后代入函数解析式可求出“拐点”A的坐标．
（2）设出点的坐标，根据中心对称的定义即可证明．

本题考点：利用导数研究函数的单调性．

考点点评：本题考查一阶导数、二阶导数的求法，函数的拐点的定义以及函数图象关于某点对称的条件．