题目

隐函数求导
[y(x)']'对y的导数等于[y(x)']'对x的导数乘以x',这是为什么呢?
y(x)'表示y对x的导数

提问时间：2020-07-25

答案

你的表示法在下不习惯Orz
用dy/dx表示y对x的导数
(dy/dx)'对y的导数等于(dy/dx)'对x的导数乘以x'
因为是隐函数,若隐函数中,x是y的函数,则要求函数对y的导数可以先求对x的导数再乘以x对y的导数.
就像我们学以前,求复合函数的导数是一样的道理.把内函数整体看成x,内函数中的自变量看成y【我们以前一般自变量是x,只是说法不一样,为了解释本题的问题,这里把内函数的自变量用y表示】
用道理来解释是很难理解的,举个简单的例子吧.
要求ln(3y+1)对y的导数,现在都知道结果是1/(3y+1)了.
其实最初学复合函数的导数是时候步骤是这样的.
先令x=3y+1
先求lnx对x的导数,等于1/x
再乘以x对y的导数,即3y+1对y的导数,是3
结果为3/x,把x=3y+1带进去,是3/(3y+1),这是ln(3y+1)对y的导数
现在我们求这个当然不会写这么麻烦的步骤了,但是其实原理是这样的.
而隐函数中那种求对y的导数是先求对x的导数再乘以x对y的导数.和复合函数的原理是一样的.
【只是不一定有那个具体的形式,在隐函数中有时候x是y的函数但是没有具体的表达式,所以写dx/dy而不是像复合函数里“x对y的导数,即3y+1对y的导数”这么具体】
于是你再不懂在下也不知道怎么解释了……