题目

2sinx+2cosx-sinxcosx-2最大值和最小值

提问时间：2020-07-25

答案

y=2sinx+2cosx-sinxcosx-2=2(sinx+cosx)-sinxcosx-2.换元.可设t=sinx+cosx=(√2)sin[x+(π/4)].易知,-√2≤t≤√2,且将t=sinx+cosx两边平方可得sinxcosx=(t²-1)/2.故问题可化为求函数y=2t-[(t²-1)/2]-2在[-√2,√2]上的极值.易知,y=-(1/2)(t-2)²+(1/2).故ymax=y(√2)=(4√2-5)/2.ymin=y(-√2)=-(4√2+5)/2.即原式的最大,最小值分别是(4√2-5)/2,和-(4√2+5)/2.