题目

已知动点P到两定点A(1,0),B(2,0)的距离的比为根号2/2,（1）求P的轨迹C的方程（2）是否存在过点A（1,0）的直线l交轨迹C于点M和N使得三角形MON的面积为根号3/2（O为坐标原点）,若存在,求l的方程,若不存在说明理由

提问时间：2020-07-25

答案

（1）设P(x,y)
((x-1)^2+y^2)^1/2/((x-2)^2+y^2)^1/2=（1/2)^1/2
((x-1)^2+y^2)/((x-2)^2+y^2)=1/2
2(x-1)^2+2y^2=(x-2)^2+y^2
2x^2-4x+2+2y^2=x^2-4x+4+y^2
x^2+y^2=2
P点的轨迹方程为以（0,0）为原点,2^1/2为半径的圆
（2）假设存在直线,设y=k(x-1)
kx-y-k=0
圆心（0,0）到直线的距离,
d=/k//(k^2+1)^1/2
S=1/2*MN*d=1/2*2*(2-d^2)^1/2*d=3^1/2/2
d=6^1/2/2ord=2^1/2/2
d=6^1/2/2时,k无解
d=2^1/2/2时,k=1,ork=-1
y=x-1,ory=-（x-1)=-x+1
k不存在时,x=1,S=1,舍去.
所以l:y=x-1ory=-x+1